Verticale vs. ongeplaatste homotopie colimits

Laat $ C $ een categorie zijn met een object nul, d.w.z. een object 0 dat zowel initiaal als terminal is. Dan wordt $ C $ automatisch (en uniek) verrijkt over de categorie $ Set_ \ star $ van spitse sets met smash-product, waarbij het basispunt $ 0 \ in C (x, y) $ de unieke kaart is die door het object 0 fuseert. Een functor tussen dergelijke categorieën is $ Set_ \ star $ -verrijkt (dwz behoudt de basispunten van homsets) als en alleen als het het nulobject bewaart. Noem deze gerichte categorieën en gerichte functoren . (Dit is de "zero-ary" -versie van additieve categorieën en biproducten.)

Laat nu $ G: C ^ {op} \ aan Set_ \ star $ en $ F: C \ aan Set_ \ star $ wees functoren; we kunnen dan het tensorproduct $ G \ otimes_C F $ (ook bekend als de $ G $ -gewogen colimit van $ F $) beschouwen, hetzij (1) als gewone niet-verrijkte functoren, of (2) als $ Set_ \ star $ -verrijkt functors. De eerste is een quotiënt van $ \ bigvee_c G (c) \ maal F (c) $, terwijl de tweede een quotiënt is in plaats van $ \ bigvee_c G (c) \ wedge F (c) $. (Ik schrijf $ \ vee $ voor het coproduct in $ Set_ \ star $, omdat het een 'wig' is die basispunten in de disjuncte verbinding identificeert.) Ik ben echter van mening dat deze twee tensorproducten de hetzelfde, omdat elk paar $ (x, 0) $ in $ G (c) \ maal F (c) $ gelijk is aan $ (x, F (t) (0)) $ waarbij $ t: 0 \ tot c $ is de unieke kaart van 0 tot $ c $ in $ C $, en wordt daarom geïdentificeerd in het tensorproduct met $ (G (t) (x), 0) = (0,0) $, wat het basispunt is van $ \ bigvee_c G (c) \ maal F (c) $. Dus als $ C $ een nulobject heeft, heeft het gewone tensorproduct boven $ C $ het effect dat het automatisch ook het smash-product automatisch uitvoert.

Mijn vraag is: blijft dit waar voor homotopy tensorproducten? Stel dat we $ Set_ \ star $ beschouwen als binnen de categorie $ sSet_ \ star $ van gerichte simpliciale sets, en in plaats van het tensorproduct nemen we de homotopische vervanging ervan, die kan worden omschreven als een tweezijdige staafconstructie. We krijgen dus twee gerichte simplicial sets $ B ^ u (G, C, F) $ en $ B ^ p (G, C, F) $ (voor unpointed en pointed), gedefinieerd door $$ B ^ u_n (G, C, F) = \ bigvee_ {c_0, \ dots, c_n} G (c_n) \ maal C (c_ {n-1}, c_n) \ maal \ punten \ maal C (c_0, c_1) \ maal F (c_0) $$ en $$ B ^ p_n (G, C, F) = \ bigvee_ {c_0, \ dots, c_n} G (c_n) \ wig C (c_ {n-1}, c_n) \ wig \ dots \ wig C (c_0, c_1) \ wedge F (c_0) $$ Er is een canonieke quotiëntkaart $ B ^ u (G, C, F) \ tot B ^ p (G, C, F) $, en de bovenstaande waarneming (ervan uitgaande dat deze correct is) betekent dat deze kaart een isomorfisme induceert op $ \ pi_0 $. Is het een zwakke homotopie-equivalentie?

Edit: Reading over the answers, I realized that there are actually two different questions here. Greg answered a question which isn't quite what I asked, but fortunately the question he answered is the one that I meant to ask, which is comparing $B^p(G,C,F)$ with the homotopy tensor product when considering $G$ and $F$ as functors landing in unpointed simplicial sets, so that the $\bigvee$s would actually become disjoint unions $\coprod$.

6
@ Omar Antolin-Camarena, ik denk niet dat de categorie met gedraaide pijlen wees.
toegevoegd de auteur Leon Bambrick, de bron
Ik moet iets duidelijk missen: het lijkt mij dat de niet-aangepaste versie gewoon $ F \ otimes_C G = F (0) \ times G (0) $ is. De coend kan worden uitgedrukt als een colimit over de gedraaide pijlcategorie van $ C $, die is gericht omdat $ C $ is, dus de colimit is slechts een evaluatie van $ 0 \ tot 0 $.
toegevoegd de auteur Core.B, de bron
Je hebt gelijk, @MikeShulman, ik was nonchalant: wanneer $ C $ is aangewezen, is $ 0 \ tot 0 $ alleen terminal (en niet initiaal) in de categorie met gedraaide pijlen. Nu, dat zou nog steeds impliceren dat de coend evaluatie is bij $ 0 \ tot 0 $, als het niet voor mijn andere fout was: een einde is een limiet voor de gedraaide pijlcategorie, maar een coend is een limiet over de tegenover van de categorie met gedraaide pijlen. Dus alles is goed en je tensorproduct is niet automatisch triviaal.
toegevoegd de auteur Core.B, de bron

2 antwoord

Ik zal een alternatieve benadering schetsen. Ik ben de laatste tijd op zoek geweest naar manieren om te discussiëren over homotopie (co) limieten met universele eigenschappen in plaats van expliciete constructies, dus ik vind deze vraag leuk.

Laat $ Fun (C, Set_ *) $ de categorie van functoren zijn en laat $ Fun_ * (C, Set_ *) $ de categorie van spitsvormige functoren zijn. Voor een bepaalde keuze van $ G $ is de gewogen colimit-functor $ G \ otimes - $ in de verrijkte zin een compositie $ Fun_ * (C, Set_ *) \ rightarrow Fun (C, Set_ *) \ rightarrow Set_ * $, vergeetachtige functor gevolgd door de niet-aangepaste $ G \ otimes - $. Dit volgt uit het feit dat zijn juiste adjoint de samenstelling is van juiste adjends $ Set_ * \ rightarrow Fun (C, Set_ *) \ rightarrow Fun_ * (C, Set_ *) $, $ X \ mapsto (c \ mapsto Set_ * ( G (c), X)) $ gevolgd door $ F \ mapsto (c \ mapsto (vezel (F (c) \ rightarrow F (0)))) $.

Maak nu een afgeleide-functieversie van hetzelfde argument.

6
toegevoegd
Daar had ik aan moeten denken. De compositie $ Fun _ * (C, sSet_ *) \ overset {forget} {\ to} Fun (C, sSet_ *) \ overset {G \ otimes -} {\ to} sSet _ * $ is isomorf naar $ Fun_ * (C , sSet_ *) \ overset {G \ otimes_ * -} {\ to} sSet _ * $, dus omdat alle betrokken functoren afgeleide functoren hebben achtergelaten, vertelt functorialiteit u dat hun afgeleide functoren het ermee eens zijn. (De linker (= rechts) afgeleide functor van 'vergeten' is alleen zichzelf, omdat het alle zwakke equivalenten bewaart.)
toegevoegd de auteur Leon Bambrick, de bron
Hmm, nu I zie ik er niet meer in. Het is mogelijk om de functoren f en g zo te hebben dat g en gf afgeleide functoren hebben achtergelaten, en f alle zwakke equivalenten bewaart, maar $ L (gf) \ ncong Lg \ circ Lf $.
toegevoegd de auteur Leon Bambrick, de bron
Ik denk niet dat wat ik oorspronkelijk het 'ongecodeerde homotopietensorproduct' noemde, hetzelfde is als de G-gewogen colimit van het diagram van de puntige, simpliciale sets F; zou dat niet gepaard gaan met $ G_ + \ wig F $ in plaats van $ G \ keer F $? Dus ik weet niet wat zijn juiste adjoint is. En voor de andere versie van de vraag (die ik wilde vragen), waarbij we G en F beschouwen als zowel landen in ongeïnstalleerde simpliciale sets, is het tensorproduct in kwestie de G-gewogen colimit, maar in dat geval doe ik het niet zie wat de juiste adjoint van de vergeetachtige functor is.
toegevoegd de auteur Leon Bambrick, de bron
OK, ik zie het nu. Ik was onnodig bang dat de vergeetachtige functor geen cofibrerende objecten lijkt te behouden. Maar het maakt eigenlijk niet uit.
toegevoegd de auteur neo, de bron
Ik denk niet dat ik wil proberen $ Lh \ simeq Lg \ circ Lf $ af te leiden van $ h \ simeq g \ circ f $. In plaats daarvan gebruik ik een "afgeleide-functieversie van hetzelfde" in plaats van de oorspronkelijke categorieën in de homotopecategorieën. $ f $, $ g $ en $ h $ waren vergeetachtige functor, $ G $ -gecoate colimit en verrijkte $ G $ -gewicht colimit. Geef hun juiste adjoints aan met $ f '$, $ g' $, $ h '$. Ik verkreeg $ h \ cong g \ circ f $ van $ h '\ cong f' \ circ g '$. Nu wil ik $ Lh \ simeq Lg \ circ Lf $ van $ Rh '\ simeq Rf' \ circ Rg '$ (waarvan ik denk dat het duidelijk is), gebruiken die $ Rf' $, $ Rg '$, $ Rh' $ hebben gelijk bij $ Lf $, $ Lg $, $ Lh $.
toegevoegd de auteur Anne-Laure, de bron
Mijn antwoord is verkeerd. Ik blijf nog steeds denken dat er een conceptuele reden moet zijn onafhankelijk van de details van de tweezijdige staafconstructie of de keuze van de modelstructuur, maar ik heb het niet. Ik was warrig over adjunct-functoren: zie Mike's laatste opmerking.
toegevoegd de auteur Anne-Laure, de bron

Ik denk dat het antwoord ja is. Hier is een poging tot een argument.

Laat $ SS _ * $ en $ SS $ de categorieën van puntige en niet-gerichte simpliciale sets zijn. Laat $ [C, SS] $ de categorie zijn van alle functoren van $ C $ naar $ SS $ en laat $ [C, SS _ *] _ * $ de categorie zijn van alle puntige functoren van $ C $ naar $ SS _ * $ . Definieer ook de functorcategorieën $ [C, Sets] $ en $ [C, Sets _ *] _ * $. Beschouw $ [C, Sets] $ en $ [C, Sets _ *] _ * $ als subcategorieën van respectievelijk $ [C, SS] $ en $ [C, SS _ *] _ * $.

De functorcategorieën $ [C, SS] $ en $ [C, SS _ *] _ * $ hebben bekende modelstructuren waarbij zwakke equivalenten en fibraties puntsgewijs worden gedefinieerd. Het is niet moeilijk om de cofibraties expliciet te beschrijven. De cofibratie in $ [C, SS] $ wordt gegenereerd door kaarten van het formulier $$ I \ times \ hom (x_0, -) \ longrightarrow J \ times \ hom (x_0, -) $$ waar $ I, J $ simplicial sets zijn, $ x_0 $ is een object van $ C $, $ \ hom (x_0, x) $ staat voor de (puntige) reeks morfismen in $ C $, en de kaart is afkomstig van een cofibratie van simplicial sets $ I \ hookrightarrow J $. Op dezelfde manier worden de cofibraties in $ [C, SS _ *] _ * $ gegenereerd door kaarten van het formulier $$ I _ + \ wedge \ hom (x_0, -) \ longrightarrow J _ + \ wedge \ hom (x_0, -). $$

Men kan homotopietensorproduct definiëren met behulp van cofibrant-vervanging in deze modelstructuur. Namelijk, als F en G twee functoren zijn (hetzij puntig of niet-gericht), dan is $ B (G, C, F) \ simeq cG \ otimes cF $, waarbij $ c $ staat voor een cofibrante vervanging in de juiste functorcategorie. In feite is het voldoende om een ​​cofibrante vervanging van $ F $ of $ G $ te nemen. Dat wil zeggen $ cG \ otimes F \ simeq G \ otimes cF \ simeq cG \ otimes cF $.

Er is een voor de hand liggende vergeetachtige functor die ik zal aanduiden met $ R $. $$ R \ colon [C, SS _ *] _ * \ longrightarrow [C, SS]. $$ Uw vraag is gelijk aan het volgende: behoudt $ R $ de homotopie coëfficiënten? Je stelt alleen de vraag voor set-rated functoren, maar ik denk dat het antwoord in het algemeen ja is. Laat me het wat preciezer formuleren. Laat $ F \ colon C \ naar SS _ * $ en $ G \ colon C ^ {op} \ naar SS _ * $ naar spitse functoren gaan. Er is een duidelijke natuurlijke kaart van de (onbekeerde) homotopie die $ RG \ imes imes imes imesimes RF H RF $ aan de puntige homotopie koppelt $ G \ ot ot otimes ^ H $. We willen laten zien dat deze kaart een gelijkwaardigheid is. Laten we het eerst eens kijken wanneer $ F $ de vorm $ F (-) = I _ + \ wedge \ hom (x_0, -) $ heeft voor een simplicial set $ I $ en een object $ x_0 $ of $ C $. In dit geval is $ F $ cofibrant in $ [C, SS _ *] _ * $, dus de gerichte homotopie coend van $ F $ en $ G $ is gelijk aan de spitse strikte coend die, door Yoneda Lemma, gelijk is aan $ I _ + \ wedge G (x_0) $. Laten we nu eens kijken naar $ RF $ en $ RG $. Het is niet meteen duidelijk of $ RF $ cofibrant is in $ [C, SS] $. Aan de andere kant is $ RF $ objectwise equivalent aan de volgende homotopy-pushout $$ * \ times \ hom (0, -) \ longleftarrow I \ times \ hom (0, -) \ longrightarrow I \ times \ hom (x_0, -). $$ Door homotopie-coend te nemen met $ RG $ worden objectwekelijkse homotopepapers bewaard. Hieruit volgt dat $ RF \ otimes ^ h RG $ gelijk is aan de volgende homotopy-pushout $$ * \ times \ hom (0, -) \ otimes ^ h RG \ longleftarrow I \ times \ hom (0, -) \ otimes ^ h RG \ longrightarrow I \ times \ hom (x_0, -) \ otimes ^ h RG. $$ Die, wederom met Yoneda Lemma, samen met het feit dat $ RG (0) = * $, impliceert dat $ RF \ on ^ rg $ gelijk is aan $ I _ + \ wedge G (x_0) $. Dus we verkrijgen dat $ RF \ αimes ^ h RG $ gelijk is aan $ F \ ot ot ^ h G $. Met een beetje zorgvuldiger diagram-achtervolgen zou het niet moeilijk moeten zijn om te zien dat de canonieke kaart $ RF \ ot maal ^ h RG \ longrightarrow F \ xongwee $ $ deze gelijkwaardigheid induceert.

Voor een algemene punt $ F $, kan men $ F $ presenteren als een homotopie colimit langs het genereren van cofibraties in $ [C, SS _ *] _ * $ (neem een ​​cofibrante vervanging van $ F $), en verkrijgt men het resultaat met behulp van een vergelijkbare berekening plus inductie.

Edit: When I was writing this post, I actually changed my mind in the middle about how I wanted to do this, so I think it came out a bit unfocused. The idea is straightforward. Fix a contravariant pointed functor $G$. We want to check that the natural map from $F\otimes^h G$ (unpointed derived tensor product) to $F\otimes^h_* G$ (pointed derived tensor product) is an equivalence for functors $F$ of the form $F=I_+\wedge\hom(x_0, -)$. This is good enough, because all other homotopy types of pointed functors can be built as repeated homotopy pushouts of functors of this type. So, I need to calculate both the pointed and unpointed derived tensor products of $F$ and $G$ for this type of $F$. The pointed tensor product is easy, because $F$ is cofibrant in the pointed models structure, so the derived product is equivalent to the strict product, which can be calculated using the YL. The unpointed tensor product is slightly less obvious, because it is not clear that $F$ is cofibrant in the unpointed model structure, and this is why the derived case does not follow immediately from the strict case. But, $F$ can be presented as a homotopy pushout of free (in the unpointed sense!) functors, and an elementary little calculation shows that the unpointed derived tensor product agrees with the pointed one.

Dit is een bewijs per berekening. Omdat de "berekening" uiterst eenvoudig is, vind ik dat het niet slecht is. Maar het zou leuk zijn om een ​​conceptuele reden te zien waarom het waar zou moeten zijn. Ik geloof dat zo'n reden bestaat, maar ik heb het niet kunnen opschrijven.

5
toegevoegd
Ik verwacht dat je antwoord werkt, maar ik vind Tom beter, omdat het eenvoudiger en meer conceptueel is. Zie mijn antwoord op Tom's antwoord op uw vraag.
toegevoegd de auteur Leon Bambrick, de bron
Nu kijk ik hierop terug omdat ik niet overtuigd ben dat het antwoord van Tom werkt, en het lijkt aannemelijk, maar ik heb geen gevoel voor wat er echt aan de hand is. Heeft het iets te maken met het feit dat alle (puntige) simpliciale sets cofibrant zijn, zodat die pushouts automatisch homotopie-pushouts zijn? Het lijkt mij onaangenaam als een algemeen feit als dit afhing van een dergelijke technische conditie.
toegevoegd de auteur Leon Bambrick, de bron
Ik denk dat een deel van wat mij in de war brengt, is dat zinsneden als 'homotopy pushout' afhankelijk zijn van de ambient-categorie; met name de functor R bewaart ze niet (dat is een soort van waar de hele vraag over gaat). Dus wanneer u zegt "alle andere homotopietypes van spitse functoren kunnen worden gebouwd als herhaalde homotopie-pushouts" is het mij niet duidelijk waar deze homotopie-pushouts plaatsvinden - in spitse functoren? In onbegeleide functoren?
toegevoegd de auteur Leon Bambrick, de bron
Wat het antwoord van Tom hieronder betreft: ik zou graag zien dat het afgeleide argument wordt uitgewerkt. Als ik me niet vergis, behoudt de functor van $ Fun (C, Set _ *) $ tot $ Fun _ * (C, Set _ *) $ geen fibraties of acyclische fibraties in de standaardmodelstructuur, dus het is een beetje onduidelijk wat het is rechts afgeleide functor is. Ik twijfel er niet aan dat het kan worden uitgewerkt, maar ik zou graag willen leren hoe het op de juiste manier te doen.
toegevoegd de auteur neo, de bron
Ik denk niet dat het hier belangrijk is dat alle simpliciale sets cofibrant zijn. Het argument kan worden aangepast om te werken voor fronten van $ C $ tot topologische ruimten (of wat dan ook een cofibrantly gegenereerde modelcategorie) in plaats van simpliciale sets. In dat geval zou het punt zijn dat voor elk cofibrant object $ I $ en alle objecten $ x_0, x $ van $ C $, de kaart $ I \ times \ hom (0, x) \ tot I \ times \ hom (x_0 , x) $ zou een cofibratie zijn. Welnu, deze kaart is de opname van $ I $ in een coproduct van een aantal kopieën van $ I $, dus het is een covibratie, is het niet?
toegevoegd de auteur neo, de bron
Ik heb een alinea toegevoegd aan mijn oorspronkelijke bericht, in een poging het argument samen te vatten.
toegevoegd de auteur neo, de bron
Beide echt. Voor het argument moet je weten dat je elke puntige functor (tot een ongekende zwakke equivalentie) kunt bouwen als een geïtereerde unpointed homotopy-pushout langs kaarten van de vorm $ I _ + \ wig \ hom (x_0, -) \ hookrightarrow J_ + \ wedge \ hom (x_0, -) $ veroorzaakt door het genereren van cofibraties $ I \ hookrightarrow J $. Nou, je weet dat elke puntige functor kan worden gebouwd (tot puntige W.E.) als een geïtereerde gerichte homotopie-push-out langs dergelijke kaarten. Gebruik nu het feit dat de natuurlijke kaart van niet-aangegeven homotopie samenvalt met puntige hc. is een equivalentie voor pushout-diagrammen en voor gefilterde diagrammen.
toegevoegd de auteur neo, de bron