Het bewijs dat objecten een verzameling generatoren zijn

Stel dat $ \ mathcal {C} $ een categorie is met kleine colimits en $ G \ in \ mathrm {Ob} (\ mathcal {C}) $ een sterke generator is. (Dit betekent dat $ f: X \ tot Y $ een isomorfisme is iff $ f _ {*}: \ mathrm {Hom} (G, X) \ tot \ mathrm {Hom} (G, Y) $ is een bijectie.)

Hoe kan iemand bewijzen dat elk object $ X $ een verzameling exemplaren van $ G $ is (d.w.z. een quotiënt van coproducten van $ G $)?

Ik denk dat $ X \ simeq \ mathop {\ mathrm {colim}} _ {G \ to X} G $. Ik zie dat er een natuurlijke kaart $ e: \ mathop {\ mathrm {colim}} _ {G \ to X} \ tot X $ is, en dat de geïnduceerde kaart $ e _ {*}: Hom (G, \ mathop { \ mathrm {colim}} _ {G \ to X}) \ tot Hom (G, X) $ is surjectief, maar ik kan niet zien dat de kaart injectief is.

16
Wat u een "generator" noemde, wordt meestal een sterke generator genoemd. Hoewel een paar mensen het verwarrend slechts een "generator" noemen en in plaats daarvan "separator" noemen voor het begrip dat Martin noemt (dat is wat gewoonlijk een "generator" wordt genoemd).
toegevoegd de auteur Leon Bambrick, de bron
Als dat is wat er bedoeld wordt, dan is de verklaring onwaar. In de categorie van compacte Hausdorff-ruimten is het terminalobject een sterke generator. Maar omdat het geen endomorfismen heeft, is die segmentcategorie discreet, dus is de colimit slechts het co-product van 1 over de set Hom (1, X), en dit is de Stone-Cech-compactificatie van de onderliggende set van X - over het algemeen niet hetzelfde als X.
toegevoegd de auteur Leon Bambrick, de bron
Compact Hausdorff is niet gesloten onder kolims ...
toegevoegd de auteur rp., de bron
Ik ken de volgende definitie van een generator (uit het boek van Mac Lane): voor elke afzonderlijke $ f, g: X \ tot Y $ is er een $ h: G \ tot X $ zodat $ fh, gh $ ook verschillend zijn . Ik betwijfel of dit hetzelfde is als het uwe.
toegevoegd de auteur Farinha, de bron
De colimit wordt overgenomen van de segmentcategorie als $$ \ varinjlim_ {f \ in (G \ downarrow X)} s (f) $$ waarbij $ s $ de canonieke functor $ (G \ downarrow X) \ naar C $ verzending is elk object naar de bron (in dit geval G) en elke commutatieve driehoek naar het overeenkomstige morfisme in $ C $. Joey's notatie is een beetje te beledigend voor mijn smaak, maar ik begreep wat hij bedoelde.
toegevoegd de auteur martinatime, de bron
Voor wat gewoonlijk een generator wordt genoemd (d.w.z., wat Martin vermeldt in zijn opmerking), faalt het resultaat: In Top is een punt een generator, maar puntenpunten zijn slechts discrete spaties.
toegevoegd de auteur Core.B, de bron
Ik begrijp niet wat de colimit in de laatste alinea is geïndexeerd. Is dit de set Hom (G, X)? In dat geval lijkt het me dat je alleen het coproduct zou kunnen bedoelen, wat waarschijnlijk niet is wat je wilt.
toegevoegd de auteur Core.B, de bron
Sorry, Joey - compacte Hausdorff-ruimtes zijn een cocomplete-categorie. Dit is bekend. (Je hebt gelijk dat colimits er niet zijn berekend zoals ze in $ Top $ zouden zitten.) Ik denk echter niet dat de vraag volledig is opgelost door Mike's voorbeeld, omdat je nog steeds een compacte Hausdorff-ruimte kunt presenteren als een colimit van een diagram dat volledig uit enen bestaat (voornamelijk omdat compacte Hausdorff-ruimtes monadische over-sets zijn).
toegevoegd de auteur Bill Blondeau, de bron
Dito Mike's laatste zin. Het laatste voorbeeld dat ik probeerde te bekijken was waar $ G $ de 2-dimensionale oosterse is in de categorie 2-kat, waarvan ik vrij zeker ben dat het niet dicht is (omdat de zenuwfunctieraad van Street niet vol is met 2-Cat).
toegevoegd de auteur Bill Blondeau, de bron

2 antwoord

Ik denk dat er in feite drie mogelijke dingen zijn die je zou kunnen vragen, maar het antwoord op allemaal is nee. Stel dat G een sterke generator is in een co-completering categorie C. Dan kun je vragen:

  1. Is elk object X van C de colimit van G boven het canonieke diagram van vorm $ (G \ downarrow X) $? (Als dat zo is, wordt G in <%> genoemd in C.)

  2. Is elk object een paar colimit van een diagram waarvan alle hoekpunten G zijn? (Als dat zo is, wordt in C de waarde colimit-dense )

  3. Is C de kleinste subcategorie van zichzelf met G en gesloten onder colimits? (Als dat zo is, is G een colimit-generator van C.)

De categorie compacte Hausdorff-spaties is een tegenvoorbeeld van de eerste twee. Het is monadisch over Set (de monade is de ultrafilter monade, ook wel Stone-Cech-compactificatie van de discrete topologie genoemd), en daarom is het een co-aanvulling, en de ruimte met één punt is een sterke generator. Maar elke colimit van een diagram dat volledig uit 1-punts spaties bestaat moet in het beeld zijn van de vrije functor van Set (de één-puntsruimte is zijn eigen Stone-Cech-compactificatie), en vandaar (aangezien die functor een linker adjoint is en behoudt colimits) moet het gratis object op een set zijn. Niet elke compacte Hausdorff-ruimte is echter de Stone-Cech-compactificatie van een discrete set.

Zoals Todd in de opmerkingen opmerkte, is CptHaus de colimit-sluiting van de ruimte met één punt, aangezien elk object een gelijkwaardige verdeling van kaarten tussen vrije objecten is (omdat de categorie monadisch is over Set); het is dus geen tegenvoorbeeld van de derde vraag. Tegenvoorbeelden van de derde vraag zijn eigenlijk veel moeilijker te verkrijgen, en in feite als je bovendien aanneemt dat C eindige limieten heeft en "extreem goedkoppelend" is, dan is het waar dat elke sterke generator een colimit-generator is. Ik denk dat dit ergens in Kelly's boek 'Basisconcepten van verrijkte categorietheorie' te vinden is en een korte versie te vinden is hier . Zonder deze aannames kan men echter lelijke en gekunstelde tegenvoorbeelden bereiden, zoals voorbeeld 4.3 in het artikel "Totaalcategorieën en vaste fokmachines" van Borger en Tholen.

18
toegevoegd
Ja, zeer grondig. Bedankt Mike!
toegevoegd de auteur rp., de bron
+1 Goed antwoord, Mike. Nu hoef ik hier niet meer mee te worstelen! :-)
toegevoegd de auteur Bill Blondeau, de bron

Zie cor. 4.4 in "Sterke reguliere en compacte generatoren" Tholen, Borger:

http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CTGDC_1991__32_3_257_0

1
toegevoegd