Kruising volume van twee tori (kwantitering van de oriëntatievrijheid van catenaanringen?)

Met het risico een te laag niveau te plaatsen, een vraag ...

Overweeg twee tori, met buisradi $ r_1 $ en $ r_2 $, en centrale-van-het-gat naar midden van de buisradius $ c_1 $ en $ c_2 $. Ik zou graag een analytische uitdrukking willen vinden voor het overlappende volume als een functie van de afstand tussen de gatencentra van elke tori en de hoeken tussen een aantal dwarsdoorsnede-tweedimensionale vlakken. Is er een bijzonder leuke manier om dit te doen? Is dit probleem ergens anders opgelost, misschien in een computationeel meetkundepakket?

Motivatie -

Er is een grote verscheidenheid aan moleculaire catenanes gedocumenteerd in de literatuur (Wikipedia doet het goed voor een basisintroductie - http: //en.wikipedia.org/wiki/Catenane ). Ze bestaan ​​uit topologisch gekoppelde organische polymeren/metallopolymeren (rotaxanen en dergelijke), dubbelstrengs (ds) DNA, peptiden/eiwitten/enz. In sommige van deze systemen, bijvoorbeeld het dsDNA, hebben we starheid (d.w.z. lange persistentielengte) en intra/intermoleculaire Coulomb-interacties.

Ik dacht dat het heel netjes zou zijn om een ​​algemene uitdrukking te hebben voor het overlappingsvolume van twee tori om te helpen met dingen als het kwantificeren van de entropische kosten van een topologische koppeling tussen twee polymeerringen, om te kijken naar de invloed van Coulomb-interacties in het beperken van de oriëntatievrijheid ( door het meten van de overlap tussen de buizen van twee torussen waarbij de straal wordt verlengd tot de Debye-afschermingslengte), enzovoort.

Ik realiseer me dat een eenvoudige benadering om de analytische uitdrukking te vinden bijna zeker iets rommeligs zal opleveren. Maar ik ben zeker verrast door elegante oplossingen voor dit soort geometrieproblemen.

Sinds bol-sfeer kruispunt is eenvoudig te berekenen ( http://mathworld.wolfram.com/Sphere-SphereIntersection .html ), misschien kan het de vorm aannemen van het integreren van de overlap tussen de twee sferen in banen die de tori definiëren. Hier zou je iets doen als twee cirkels tekenen in 3-ruimte, met radii $ r_1 $ en $ r_2 $, wat de set middelpunten voor de tori-buizen vertegenwoordigt, kijk dan naar het snijpunt voor twee bollen geplaatst op afstand $ D $ uit elkaar, waarbij $ D $ ook de afstand is tussen twee willekeurige punten op de cirkels. Niet zeker of dit praktisch is of zelfs als het de juiste tori snijpuntwaarden oplevert ...

4
In deze context kunt u net zo goed overwegen "rechthoekige" tori, d.w.z. verbindingen van vier kubussen en vier rechthoekige parallellepipedums.
toegevoegd de auteur Deepak Shenoy, de bron

1 antwoord

Je lijkt te praten over een solide tori van revolutie in $ R ^ 3, $ als gevolg van het draaien van een perfecte cirkel. Uw gebruik van "3-tori" suggereert iets anders. Ik weet niet waarom u het woord 'gekoppeld' gebruikt.

Hoe dan ook, het oplossen van een van hen als het hebben van je midden van het gat aan de oorsprong, symmetrie-as de $ z $ -as, dan langs de $ x $ -as zal er een van je middelpunt van de buis zijn punten op $ (c_1,0,0). $ Dwingt dat om een ​​middelpunt van de buis te zijn voor de tweede torus nog steeds drie "vrijheidsgraden" mogelijk is voor de plaatsing van de tweede torus, twee voor de plaatsing van het midden van het gat op enig moment op afstand $ c_2 $ van $ (c_1,0,0). $ Dan een derde voor rotatie om dat segment. Er zal geen mooie analytische uitdrukking zijn. Ik verwacht een behoorlijke hoeveelheid werk, zelfs als het tweede centrum $ (c_1 + c_2,0,0) $ is en de tweede as van rotatie de lijn $ x = c_1 + c_2, y = 0 $ parallel aan de $ z $ -as.

Het kruispunt hoeft niet eens verbonden te zijn.

Over het algemeen denk ik dat het zou helpen om te weten waarom je iets over dit volume wilt weten.

4
toegevoegd
Will, bedankt voor je antwoord. Als reactie heb ik een motiverende sectie toegevoegd. Ik nam ook het deel over de Tori 'gekoppeld'. Dat was alleen bedoeld om het volledige probleem te vereenvoudigen.
toegevoegd de auteur dnord, de bron