Simplicial space en zijn simplicial replacement?

Volgens de notatie van Dugger: "Primer op homotopie colimits":

Voor een kleine categorie $ \ mathcal {J} $ de zenuw van de tegenovergestelde categorie $ \ textrm {N} {\ mathcal {J} ^ {\ mathrm {op}}} $ is isomorf voor de simplicial set $ \ tilde {\ textrm {N}} {\ mathcal {J}} $ die in dimensie $ n \ geqslant 0 $ bevat alle ketens $ [i_ {n} \ rightarrow i_ {n-1} \ rightarrow \ ldots \ rightarrow i_ {0}] = [i_ {0} \ leftarrow i_ {1} \ leftarrow \ ldots \ leftarrow i_ {n}] $ of $ n $ composable morfisms in $ \ mathcal {J} $ met $ \ alpha_ {j}: i_ {j} \ rightarrow i_ {j-1} $ voor alle $ 1 \ leq j \ leq n $. Nogmaals $ s_ {j} ^ {\ ast}: (\ tilde {\ textrm {N}} {\ mathcal {J}}) _ {n} \ rightarrow (\ tilde {\ textrm {N}} {\ mathcal { J}}) _ {n + 1} $ voor $ 0 \ leq j \ leq n $ invoegingen het identiteitsmorfisme op $ i_ {j} $ en $ d_ {k} ^ {\ ast}: (\ tilde {\ textrm {N}} {\ mathcal {J}}) _ {n} \ rightarrow (\ tilde { \ textrm {N}} {\ mathcal {J}}) _ {n-1} $ voor $ 0 \ leq k \ leq n $ bedekt $ i_ {k} $. LET OP: $ \ tilde {\ textrm {N}} {\ mathcal {J}} $ is vergelijkbaar met $ \ textrm {N} {\ mathcal {J}} $, maar de volgorde van kaarten voor gezicht en degeneratie is omgekeerd !

Laat $ \ mathcal {J} $ een kleine categorie zijn en $ D: \ mathcal {J} \ rightarrow \ mathcal {T} op $ een klein diagram zijn. De eenvoudige vervanging van $ D $ is als volgt gedefinieerd:
$$ (\ textrm {srep} _ {\ mathcal {J}} {D}) _ n: = \ coprod _ {[i_0 \ leftarrow i_1 \ leftarrow \ ldots   \ leftarrow i_n] \ in (\ tilde {\ mathrm {N}} {\ mathcal {J}}) _ {n}} D (i_n) $$ Laat $ \ sigma = [i_0 \ leftarrow i_1 \ leftarrow \ ldots \ leftarrow i_n] $ met $ \ alpha_ {j}: i_ {j} \ rightarrow i_ {j-1} $ voor $ 1 \ leq j \ leq n $ be een element van $ (\ tilde {\ textrm {N}} {\ mathcal {J}}) _ {n} $. De degeneratie maps $ s_j ^ {\ ast}: (\ textrm {srep} _ {\ mathcal {J}} {D}) _ n \ rightarrow (\ textrm {srep} _ {\ mathcal {J}} {D}) _ {n + 1} $ voor $ 0 \ leq j \ leq n $ kaart de summand $ D (i_n) $ komt overeen met $ \ sigma $ met het identiteitsmorfisme naar dezelfde summand $ D (i_n) $ geïndexeerd door $ \ tilde {\ textrm {N}} (s_ {j}) (\ sigma) \ in (\ Tilde {\ textrm {N}} {\ mathcal {J}}) _ {n + 1} $. De degeneratie-kaarten $ d_ {j} ^ {\ ast}: (\ textrm {srep} _ {\ mathcal {J}} {D}) _ {n} \ rightarrow (\ textrm {srep} _ {\ mathcal {J}} {D}) _ {n-1} $ verzend $ D (i_ {n}) $ naar de identieke kopie in $ (\ textrm {srep} _ {\ mathcal {J}} {D}) _ {n-1} $ voor $ j \ leq n-1 $ of $ D (i_ {n-1}) $ met $ D (\ alpha_ {n}): D (i_ {n}) \ rightarrow D (i_ {n-1}) $ voor $ j = n $ geïndexeerd door $ \ tilde {\ textrm {N}} (d_ {j}) (\ sigma) \ in (\ tilde {\ textrm {N}} {\ mathcal {J}}) _ {n-1} $.

Mijn vragen zijn: 1) Zijn er natuurlijke kaarten tussen een eenvoudige ruimte en de eenvoudige vervanging ervan? 2) Waarom is de homotopie-colimit van een simpliciale ruimte zwak equivalent aan de geometrische realisatie ervan?

2
Bij vraag 1), vraagt ​​u zich af wat er gebeurt als $ \ mathcal {J} $ de eenvoudige indexeringscategorie $ \ Delta $ is?
toegevoegd de auteur Patrick McElhaney, de bron
Robin Chapman, hartelijk dank voor het oplossen van mijn probleem met MathOverflow!
toegevoegd de auteur Michael Gilbert, de bron

Geen antwoorden

0