Is er een i.c.c. niet-manipuleerbare eenvoudige groep die innerlijk ontvankelijk is?

Een eindig gepresenteerde, telbare discrete groep $ G $ is vatbaar als er een eindige additieve maat $ m $ is op de subsets van $ G \ backslash $ {$ e $} met totale massa 1 en voldoet aan $ m (gX) = mX $ voor alle $ X \ subseteq G \ backslash $ {$ e $} en alle $ g \ in G. $

Een telbare discrete groep $ G $ is innerlijk ontvankelijk als er een eindige additieve maat $ m $ is op de subsets van $ G \ backslash $ {$ e $} met totale massa 1 en voldoet aan $ m (gXg ^ {- 1}) = mX $ voor alle $ X \ subseteq G \ backslash $ {$ e $} en alle $ g \ in G. $

De groei $ b: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N} $ of $ G $ (met betrekking tot een bepaalde woordlengtemetriek op $ G $) wordt gedefinieerd als het aantal elementen $ b (n) $ in $ G $ ligt in de bol van de straal $ n $ rond $ e $.

Het is mogelijk om de aanvaardbaarheid van $ G $ te detecteren in termen van de groei van G (c.f. R.I. Grigorchuk, "Symmetrische willekeurige wandelingen op discrete groepen", UMN, 32: 6 (198) (1977), 217-218).

Kan de groei van G innerlijke geschiktheid detecteren?

Ik zou graag willen weten of er een i.c.c. discrete, niet te manipuleren, eenvoudige groep die innerlijk ontvankelijk is?

Op een verwante noot, hoe zit het met een antwoord op Owen's vraag hieronder?

7
MathSciNet verwijst als volgt naar het Grigorchuk-document: Grigorchuk, R. I, Symmetrische willekeurige wandelingen op afzonderlijke groepen, Multicomponent-willekeurige systemen , blz. 285--325, Adv. Probab. Verwante onderwerpen, 6, Dekker, New York , 1980.
toegevoegd de auteur Guy, de bron
Ten behoeve van degenen die het niet weten, een i.c.c. groep is een groep waarvan alle conjugaatklassen oneindig zijn (exclusief $ \ {e \} $). Ik heb je deze term nooit eerder gezien, dankzij de kracht van Google.
toegevoegd de auteur Edward Nunn, de bron
Sorry Victor et. al.!
toegevoegd de auteur vettipayyan, de bron

4 antwoord

Hier is een constructie van een telbare i.c.c. niet-manipuleerbare eenvoudige groep die innerlijk ontvankelijk is. Overweeg eerst de volgende voorwaarde:

(*) Voor elke eindige subset $ S \ subseteq G $ bestaat $ g \ in G \ setminus \ {1 \} $ zodat $ [g, s] = 1 $ voor elke $ s \ in S $.

Door paradoxale ontbinding te gebruiken voor niet-innerlijke ontvankelijke groepen, is het niet moeilijk aan te tonen dat () innerlijke geschiktheid impliceert. Inderdaad laten $$ G \ setminus \ {1 \} = A_1 \ sqcup \ ldots \ sqcup A_k \ sqcup B_1 \ sqcup \ ldots \ sqcup B_m $$ en laat $ x_1, \ ldots x_k, y_1, \ ldots y_m $ elementen zijn van $ G $ zodat $$ G \ setminus \ {1 \} = (A_1) ^ {x_1} \ sqcup \ ldots \ sqcup (A_k) ^ {x_k} = (B_1) ^ {y_1} \ sqcup \ ldots \ sqcup (B_m) ^ {y_m} $$ Door () is er $ g \ ne 1 $ die pendelt met alle $ x_i $ en $ y_j $. Laat $ A_i ^ \ prime = A_i \ cap \ langle g \ rangle $, $ B_i ^ \ prime = B_i \ cap \ langle g \ rangle $. Door $ \ langle g \ rangle $ te combineren met de bovenstaande decomposities van $ G $ en te noteren dat $ (A_i) ^ {x_i} \ cap \ langle g \ rangle = A_i ^ \ prime $ en op dezelfde manier voor $ B_i $ 's, verkrijgen $$ \ langle g \ rangle \ setminus \ {1 \} = A_1 ^ \ prime \ sqcup \ ldots \ sqcup A_k ^ \ prime \ sqcup B_1 ^ \ prime \ sqcup \ ldots \ sqcup B_m ^ \ prime = A_1 ^ \ prime \ sqcup \ ldots \ sqcup A_k ^ \ prime = B_1 ^ \ prime \ sqcup \ ldots \ sqcup B_m ^ \ prime. $$ Dit is onmogelijk voor niet-triviale $ g $.

Now let us construct a group $G$ by induction. Let $G_0=F_2$, the free group of rank $2$. For $n> 0$ let $G_n$ be a countable simple group that contains $G_{n-1}\times \mathbb Z$ (every countable group embeds in a countable simple group). Let $G$ be the union of the chain $G_0\subset G_1\subset \ldots $. Clearly $G$ is simple being a union of simple groups and satisfies (*) by construction. Hence $G$ is inner amenable. As $G$ is simple and infinite, it is i.c.c. Finally $G$ is non-amenable as it contains $F_2$.

Wijziging van het bovenstaande argument kan men ook een i.c.c. eenvoudige innerlijke ontvankelijke niet-ontvankelijke groep zonder niet-triviale vrije subgroepen.

12
toegevoegd
Heel, heel leuk! Bedankt!
toegevoegd de auteur vettipayyan, de bron
@ Owen: Vervoeging met $ x_ {1} $.
toegevoegd de auteur vettipayyan, de bron
Wat is $ (A_1) ^ {x_1} $? Ik heb deze notatie niet eerder gezien.
toegevoegd de auteur LAK, de bron

Hé Jon

Dus mijn eerste gedachte zou nee zijn.

Ten eerste is elke groep in zijn algemeenheid vrijwel innerlijk ontvankelijk. Dit betekent dat voor elke groep $ G $, de groep $ G \ times \ mathbb {Z}/2 \ mathbb {Z} $ innerlijk ontvankelijk is. In feite is elke niet-icc-groep innerlijk ontvankelijk door alleen het gemiddelde te nemen als de telmaat op een eindige conjugaatklasse en 0 elders.

Zelfs als we beperken tot icc-groepen, is voor elke icc-groep $ G $, $ G \ times S_ \ infty $ (of kies je gewoon de tweede groep om alles innerlijk vatbaar te maken) nog steeds innerlijk ontvankelijk.

En omdat de groep wordt gevormd als een direct product, is er geen enkele manier voor de generatoren van $ S_ \ infty $ om de groei in de $ G $ -factor soort van "vertragen".

Nu is een laatste manier om hier misschien iets van te maken, te vragen

"Als $ G $ innerlijk ontvankelijk is en samen met al zijn quotiënten, dan is er een groeiperspectiviteit."

Hiermee worden bovenstaande voorbeelden verwijderd. Geschikte groepen vallen in deze klasse, en ik durf te wedden dat er ook anderen zijn (als iemand voorbeelden kent die leuk zouden zijn), maar ik kan er ter plekke niet aan denken.

AS voor deze klas .... Ik heb geen idee.

9
toegevoegd
Tiny notational quibble: ik noem een ​​groep `vrijwel P 'als het een eindige-index subgroep heeft met eigenschap P (en ik denk dat dit vrij standaard is).
toegevoegd de auteur Guy, de bron
Bedankt, Owen. Hopelijk kan iemand ons voorbeelden geven van niet-manipuleerbare groepen met de bovenstaande eigenschap.
toegevoegd de auteur vettipayyan, de bron

The group $G:=SL_{\infty}(\mathbb Q) = \cup_n SL_n(\mathbb Q)$ is a concrete example. It is obviously simple and non-amenable. Let $g_n \in SL_{\infty}(\mathbb Q)$ be the matrix which is $$g_n:= 1_n \oplus \left(\begin{matrix} 0 & 1 \newline -1 & 0 \end{matrix}\right) \oplus 1_{\infty}.$$ and let $$m_{n}(A) := \begin{cases} 1 & g_n \in A \newline 0 & g_n \not \in A \end{cases}.$$ be the finitely additive probability measure associated with $g_n$. Now, for any non-principal ultrafilter $\omega \in \beta \mathbb N \setminus \mathbb N$, $$m(A) := \lim_{n \to \omega} m_n(A) \in [0,1]$$ is a conjugation invariant finitely additive probability measure on $G \setminus \{e\}$. Conjugation invariance follows since the each element in $G$ commutes with $g_n$ for $n$ large enough.

5
toegevoegd
Het is jammer dat Property (T) niet onder directe limieten bewaard blijft! Als dat zo was, dan kan het nemen van de unie hier voor n \ geq 3 ons in staat stellen om iets te construeren dat innerlijk vatbaar is maar dat eigendom (T) heeft. Dat zou een veel leuker voorbeeld geven van een niet-Gamma II_1-factor afkomstig van een innerlijke ontvankelijke groep.
toegevoegd de auteur vettipayyan, de bron
Oké, Andreas. Wat ik schreef was een flitsende reactie op het zien van SL (n) in je voorbeeld. Toch (hoewel ik er nog niet zo vaak over heb nagedacht), omdat je je voorbeeld kunt aanpassen om voor n \ geq 3 te werken, kun je aan je commentaar zien dat eigenschap T zich onmogelijk kan gedragen met betrekking tot limieten. Dat is een leuk extraatje voor dit voorbeeld!
toegevoegd de auteur vettipayyan, de bron
Jon, icc, (T) en innerlijke geschiktheid zijn niet compatibel. Inderdaad, als $ \ ell ^ 2 (G \ setminus \ lbrace e \ rbrace) $ bijna invariante vectoren heeft voor de conjugatie-actie, heeft het een invariante vector. Dit betekent dat er een eindige (niet-triviale) constante invoegingsset is en met name een niet-triviale eindige conjugaatklasse bevat.
toegevoegd de auteur MSpike, de bron

Is er een niet-innerlijke, plaatselijk compacte groeps [kaart] groep

0
toegevoegd
Laat alsjeblieft geen vragen achter als opmerkingen; en als je vragen stelt, probeer ze dan op een duidelijke en relatief onafhankelijke manier te formuleren, bij voorkeur met een indicatie van je motivatie of eerdere inspanningen http//mathoverflow.net/faq mathoverflow.net/howtoask
toegevoegd de auteur Matt Miller, de bron