E [log (Z_t ^ 2)], bewijs van convergentie met de wet van grote getallen

Hi all, question: Let $Z_t$ be an iid sequence with $$\mathbb{E}\log(Z_t^2)<0 $$ Show that $$\sum_{j=0}^\infty Z_t^2 Z_{t-1}^2 ... Z_{t-j}^2 < \infty$$ almost surely

Ik moet LLN gebruiken om dit op te lossen ... maar ik kan de eindjes niet maken (dit is de examenvoorstel-vraag)

0
Dit is slechts een eenvoudige oefening. Denk niet dat het echt het soort vraag is waarvoor deze site is bedoeld. Neem om te antwoorden het logboek van het product, deel door n en gebruik LLN om te concluderen dat het product minder dan één (bijna zeker) is voor alle grote n.
toegevoegd de auteur Martin Beracochea, de bron
Eigenlijk heb ik het verkeerd gelezen. De formule lijkt niet logisch. Zou het product niet $ Z_1 \ cdots Z_j $ moeten zijn, in dat geval laat de LLN zien dat de termen vrijwel zeker worden begrensd door een meetkundige reeks met een verhouding kleiner dan 1, dus absoluut convergent.
toegevoegd de auteur Martin Beracochea, de bron

2 antwoord

Laat voor elke $ t $ $ Y_t = \ log (Z_t ^ 2) $. Fix wat $ t $. De volgorde $ (Y_ {t-k}) _ {k \ geqslant0} $ is i.i.d. met $ E [Y_t] \ lt0 $ vandaar de gebruikelijke wet van grote getallen levert $ \ frac1j \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {j-1} Y_ {t-k} \ op E [Y_1] $ op. Los een aantal negatieve $ m \ gt E [Y_1] $ op.

Dan $ \ frac1j \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {j-1} Y_ {tk} \ leqslant m $ voor elke $ j $ groot genoeg, dat wil zeggen, voor elke $ j \ geqslant J $ waar $ J $ is willekeurig en bijna zeker eindig. In het bijzonder, voor elke $ j \ geqslant0 $, $ \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {j} Y_ {t-k} \ leqslant mj + X $, voor sommige vrijwel zeker eindige willekeurige $ X $. Dit impliceert de puntsgewijze convergentie van de reeks sindsdien $$ \ sum_ {j \ geqslant0} \ exp \ left (\ sum \ limits_ {k = 0} ^ {j} Y_ {tk} \ right) \ leqslant \ sum_ {j \ geqslant0} \ mathrm e ^ X \ mathrm e ^ {mj} = \ mathrm e ^ X (1- \ mathrm e ^ m) ^ {- 1}. $$ Merk op dat de RHS hierboven bijna zeker eindig is sinds $ m \ lt0 $ maar niet (a priori) uniform is begrensd omdat $ X $ mogelijk onbegrensd is.

1
toegevoegd

If the term $Z_i^2$ of the independent and identically distributed random sequence is less than 1, then you can find a $q$ with $Z_i^2 \leq q < 1$ for almost all $i$ (acording to the law of large numbers). Then the $k$-fold product is less than $q^k$ such that the geometric series limits your sum by $\frac{1}{1-q}$.

Ik veronderstel dat je $ Z_ {t + j} ^ 2 $ betekende in plaats van $ Z_ {t-j} ^ 2 $. Anders krijg je negatieve indices.

1
toegevoegd
Als ik dit drie jaar later opnieuw lees, ben ik verrast door de post (en door de stemmen): de enige situatie waarin $ Z_i ^ 2 \ leqslant q <1 $ is voor elke $ i $ groot genoeg (ervan uitgaande dat dit de vreemde naam is "voor bijna alle $ i $" betekent eigenlijk) is wanneer $ P (Z_t ^ 2 \ leqslant q) = 1 $. Deze voorwaarde wordt natuurlijk niet altijd geïmpliceerd door de hypothese dat $ E (\ log (Z_t ^ 2)) <0 $, eigenlijk is het veel sterker. Als ik het opnieuw lees, ben ik geneigd te vermoeden dat "ac (c) ording to the law of large numbers" aangeeft dat het OP niet zeker weet waar ze het over hebben (de LLN zegt niets over de enkele waarden $ Z_t ^ 2 $).
toegevoegd de auteur Konrad Rudolph, de bron