Niet-representeerbaarheid door een binaire kwadratische vorm

Laat $ k $ een willekeurig veld zijn, $ d \ in k $, en $ d $ is geen vierkant in $ k $. Beschouw de binaire kwadratische vorm $ f (x, y) = x ^ 2-d y ^ 2 $ (dit is de norm van $ k (\ sqrt {d}) $ naar $ k $). Ik ben op zoek naar een verwijzing naar een bewijs van het volgende feit:

Er bestaat een velduitbreiding $ K/k $ en een niet-nulelement $ a \ in K $ zodanig dat $ f $ geen $ a $ meer dan $ K $ vertegenwoordigt (dat wil zeggen, er is geen $ x, y \ in K $ zodat $ a = x ^ 2-d y ^ 2 $).

Bewerkte vraag (wat ik echt bedoelde): laat $ l/k $ een scheidbare kwadratische velduitbreiding zijn (van velden van een kenmerk). Bewijs dat er een velduitbreiding $ K/k $ bestaat, zoals de normkaart $ N \ colon (l \ otimes_k K) ^ \ times \ tot K ^ \ times $ is geen surjectief.

1
Ik neem aan dat het kenmerk van $ k $ niet $ 2 $ is. Neem $ K = k ((t)) $ en pas Proposition V.2.3 van Serre's Lokale velden toe op de niet-gecalibreerde kwadratische extensie $ K (\ sqrt {d})/K $. In het bijzonder is het element $ t $ niet weergegeven.
toegevoegd de auteur kevtrout, de bron
@Pete: Hartelijk dank! Ik heb mijn vraag bewerkt. Is hetzelfde bewijs ook geldig voor de bewerkte vraag in char. 2? Als je je reactie als antwoord post, zal ik het graag accepteren!
toegevoegd de auteur Steve Chadbourne, de bron
Moet $ $ $ geen cijferveld zijn?
toegevoegd de auteur xecaps12, de bron

1 antwoord

Neem $ K = k ((t)) $ (formeel Laurent-reeksenveld) en pas Propositie V.2.3 van Serre's Lokale velden toe op de niet-gecalibreerde kwadratische extensie $ Kl/K $. (Merk op dat er een scheidbaarheid van $ l/k $ nodig is, zodat $ Kl/K $ niet wordt gerangschikt.) Dan bestaat het beeld van de normkaart juist uit elementen van zelfs $ t $ -adische waardering: met name $ t $ is niet in de afbeelding. Nadat de lokale zaak is voltooid, wordt het duidelijk dat $ K = k (t) $ ook zou werken.

[Merk op dat ik het antwoord als community wiki verlaat. Dit komt omdat ik verondersteld word "op vakantie" te zijn van MO: dat wil zeggen, me concentreren op mijn eigen werk! Ik maakte hier een uitzondering omdat dit iets is waarvan ik wist dat ik het uit mijn hoofd kende en omdat Mikhail zo'n eminente wiskundige is dat het mijn voorrecht is om hem te helpen, hoe klein ook. Maar ik kan beter niet teruggaan naar het reputatiespel ...]

3
toegevoegd
Veel dank inderdaad!
toegevoegd de auteur Steve Chadbourne, de bron
Oh Oh. De vakantiepolitie is jou te pakken.
toegevoegd de auteur enmapping, de bron