Relatie tussen de categorie motivische homotopie en de afgeleide categorie van motieven

Wat is de relatie tussen de gerichte motiverende homotopie categorie $ \ mathcal {H} _ * (k) $ en de afgeleide categorie van motieven $ \ mathbf {DM} ^ -_ {eff} (k) $ naast de representabiliteit van motivische cohomologie in de homotopie-categorie?

Ik denk dat er een functor is $ \ mathcal {H} (k) \ to \ mathbf {DM} ^ -_ {eff} (k) $. Hoe ver is het van vol en trouw te zijn?

15

4 antwoord

Het korte antwoord is dat ze heel verschillend zijn, maar sterk op elkaar lijken als je 1) stabiliseert, dwz smash-product omzet in $ \ mathbb {P} ^ 1_k $ aan de homotopiezijde en het tensorproduct omkeert door het Tate-motief van de motivische kant en 2) doorgeven aan rationele coëfficiënten. Dit is de analogie van het vergelijkbare resultaat in de topologie: de gerationaliseerde stabiele homotopiecategorie komt overeen met de afgeleide categorie van $ \ mathbb {Q} $ - vectorruimten.

Het precieze vergelijkingsresultaat als je die twee bewerkingen doet, werd door Morel aangekondigd in http: //www.mathematik. uni-muenchen.de/~morel/Splittinggrassman.pdf en een bewijs werd onlangs door Deglise en Cisinski in het voorbedrukt http://www.math.univ-paris13.fr/~deglise/docs/2009/DM.pdf paragraaf 15.2

Zelfs de stabiele, integrale versies zijn behoorlijk verschillend: een manier om dit te kwantificeren is om te stellen dat spectra in $ SH _ {\ mathbb {A} ^ 1} (k) $ staan ​​voor algemene cohomologietheorieën - georiënteerde zoals motivische cohomologie, algebraïsche K- theorie, algebraïsch cobordisme maar ook niet-georiënteerd zoals Balmer-Witt-groepen, Hermitiaanse K-theorie - terwijl objecten in $ DM_ {k} $ alleen "georiënteerde cohomologietheorieën met additieve groepswetgeving" vertegenwoordigen (in de betekenis van Quillen): zie bijv. de druk van de Déglise-Cisinski hierboven, paragraaf 10.3

Voor het verschil tussen onstabiele versies, is een goed eenvoudig voorbeeld het geval van krommen van genus groter dan 1: hun effectieve motieven zijn niet-triviaal (gewicht één effectieve motivische cohomologie detecteert Pic) terwijl hun instabiele homotopie-type in zekere zin volledig is losgekoppeld. Dit is in feite de reden waarom onstabiele $ \ mathbb {A} ^ 1 $ -hotopie het meest interessant lijkt voor "bijna rationele" variëteiten, zie de kranten van Asok en Morel.

18
toegevoegd

In de topologische setting heb je een aantal adjunct-functoren "enkelvoudig ketencomplex" en "eilenberg MacLane-ruimte" tussen de afgeleide categorie van Abelse groepen en de homotopiecategorie. Hetzelfde is waar in de motivische setting. Je kunt bijvoorbeeld naar dit artikel van Voevodsky kijken.

Rondigs en Ostvaer bleek ook hier dat de grote categorie motieven gelijk is aan de homotopie-categorie van modules over het motivische cohomologiespectrum.

11
toegevoegd

Met rationele coëfficiënten zijn deze twee categorieën 'bijna isomorf'; dit werd aangekondigd door F. Morel.

5
toegevoegd
Kun je dit nader toelichten?
toegevoegd de auteur TKe, de bron

Bijna nooit! Ik ken geen directe constructie om een ​​functor uit de onstabiele homotopiecategorie te geven aan $ DM ^ {eff, -} (k) $. Men kan echter de compositie $ \ Sigma ^ {\ infty} _ {S ^ 1} nemen: Ho _ * (k) \ rightarrow SH_ {S ^ 1} (k) $ en $ SH_ {S ^ 1} (k) \ rightarrow DM ^ {eff} (k) $, waarbij $ SH_ {S ^ 1} (k) $ de homotopiecategorie is van $ S ^ 1 $ -spectra en de laatste functor de Hurewicz-functor is, die naar het onbegrensde gaat effectieve motieven. Na het nemen van $ \ mathbb {Q} $ - localisatie heeft men $ SH_ {S ^ 1} (k) _ {\ mathbb {Q}} \ cong DM ^ {eff} (k) _ {\ mathbb {Q}} $, mits $ -1 $ is een som van het kwadraat in $ k $.

1
toegevoegd