Parametrisatie van de grens van de Mandelbrot-reeks

Weet iemand hoe de grens van de Mandelbrot-set moet worden geparametreerd? Ik ben geen fractal-meetkundige of een dynamische systeempersoon. Ik heb gewoon wat nieuwsgierige nieuwsgierigheid naar deze vraag.

De Mandelbrot-set is gewoonlijk gedefinieerd als de ingestelde $ M $ van alle punten $ c \ in \ mathbb {C} $ zodat de iteratie van de functie $ z \ mapsto z ^ 2 + c $ begint bij $ z = 0 $ , blijf voor altijd begrensd. De meeste heel mooie afbeeldingen van de Mandelbrot-reeks tonen $ M $ als een kruising van een oneindige reeks sets van $ M_1 \ supset M_2 \ supset M_3 \ supset \ cdots $, waarbij de grens van $ M_i $ de curve $ | z_i (c is ) | = K $. Hier is $ z_i (c) $ de $ i $ de iteratie van $ z \ mapsto z ^ 2 + c $, beginnend bij $ z = 0 $, en $ K $ is een constante die garandeert dat toekomstige iteraten zullen ontsnappen. Deze curves $ \ partial (M_i) $ begeleiden de kijker om de steeds ingewikkelder delen van de Mandelbrot-set te zien.

Elk van deze curven $ \ partial (M_i) $ is analytisch en gesloten. Ze kunnen dus mooi worden geparametreerd met een trigonometrische reeks. Om meer specifiek te zijn, elke grens heeft een parametrisering van de vorm $$ z (t) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty a_k \ cos (kt) + i \ sum_ {k = 0} ^ \ infty b_k \ sin (kt). $$ (In feite, omdat elke grens $ \ partial (M_i) $ wordt bepaald door een polynomiale vergelijking in de reële en imaginaire delen van $ c $, denk ik dat elk van deze series moet eindigen. Corrigeer me als ik het mis heb.) Ik zou denk dat het beperkende pad ook een aantal mooie parametrisaties moet hebben met een trigonometrische reeks. Is deze limiet hetzelfde voor alle $ K $? Als de limiet niet hetzelfde is voor alle $ K $, is er dan een limiet als $ K \ rightarrow \ infty $? Wat zijn de Fourier-coëfficiënten?

21
Uw voorgestelde grensparametrering lijkt niet uniek gedefinieerd te zijn, omdat er (voor zover ik weet) geen canonieke eenheids-tijdparametrisering is en de Fourier-coëfficiënten zouden worden gewijzigd door een reparametrisatie.
toegevoegd de auteur ricree, de bron
Waarom niet alleen de beperkende curven per booglengte parametriseren? Ja, de booglengte neemt toe tot in het oneindige maar u comprimeert deze tot een eenheidsinterval.
toegevoegd de auteur Yursev, de bron

6 antwoord

Lasse's antwoord uitgebreid: laat $ \ psi $ de kaart zijn van de buitenkant van de eenheidsschijf op de buitenkant van de Mandelbrot-set, met Laurent-serie $$ \ psi (w) = w + \ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n w ^ {- n} = w - \ frac {1} {2} + \ frac {1} {8} w ^ {- 1} - \ frac {1} {4} w ^ {- 2} + \ frac {15} {128} w ^ {- 3} + 0 w ^ {- 4} - \ frac {47} {1024} w ^ {- 5} + \ dots $$ Dan is natuurlijk de grens van de Mandelbrot-set het beeld van de eenheidscirkel onder deze kaart. Dit hangt echter af van de (nog niet bewezen) lokale verbondenheid van die grens. Hier is voor de coëfficiënten $ b_n $ geen bekende gesloten vorm, maar ze kunnen recursief worden berekend. Natuurlijk zetten we $ w = e ^ {i \ theta} $ en dan is dit een Fourier-reeks.

21
toegevoegd
Gerald: Dit ziet er best goed uit. Is dit de limiet van die grenscurven? Kun je een referentie geven voor de recursieve formule voor de coëfficiënten $ b_n $?
toegevoegd de auteur J. Chomel, de bron
Gerald: Ik denk dat ik online een goede plek heb gevonden om dit te lezen op " mrob.com /pub/muency/laurentseries.html" ;. Bedankt dat je me in de goede richting hebt geleid.
toegevoegd de auteur J. Chomel, de bron
toegevoegd de auteur Adam, de bron

Ik weet niet precies wat je vraagt. De grens van de Mandelbrot-set is zeker geen analytische curve. In feite laat een beroemd resultaat van Shishikura zien dat de grens van de Mandelbrot-reeks Hausdorff-dimensie 2 heeft.

Het is zelfs niet bekend of de grens überhaupt een curve is (d.w.z. lokaal verbonden): dit is op dit moment waarschijnlijk het meest bekende vermoeden in eendimensionale holomorfe dynamica.

Als de Mandelbrot-set lokaal is verbonden, is er een natuurlijke beschrijving van de grens van de Mandelbrot-set (als de grenswaarden van de Riemann-kaart van het complement van $ M $); dit staat ook op vele manieren bekend als een natuurlijke combinatorische beschrijving. Zoals hierboven vermeld, is deze parametrisatie echter niet analytisch of zelfs $ C ^ 1 $.

10
toegevoegd
Lassse: Ik vraag naar de grenscurves $ \ partial (M_i) $ die analytisch zijn voor alle $ i $ en alle $ K $. Bijvoorbeeld, als $ K = 2 $, dan is $ \ partial (M_1) $ de cirkel $ | c | = 2 $, $ \ partial (M_2) $ is de curve $ | c ^ 2 + c | = 2 $ , $ \ partial (M_3) $ is de curve $ | (c ^ 2 + c) ^ 2 + c | = 2 $, etc.
toegevoegd de auteur J. Chomel, de bron
Ik dacht dat je vroeg naar de limiet van deze curven, wat de grens is van de Mandelbrot-set? Ik moet vermelden dat een meer natuurlijke benadering van de grens van de Mandelbrot-set via de niveausets van de uniformiseringsfunctie van het complement van $ M $ ("equipotentials") zou zijn. Als $ K $ voldoende groot is, komen deze equipotentialen dicht in de buurt van de curven die u beschrijft.
toegevoegd de auteur isomorphismes, de bron

Om het antwoord van Gerald Edgar uit te breiden, zijn enkele sleutelzinnen voor u om te bekijken "Douady-Hubbard-potentieel" en " externe stralen . "

Een externe straal is de afbeelding van de straal $ \ arg z = \ theta $ voor vaste $ \ theta $ onder Geralds conforme kaart $ \ psi $.

Het potentieel van Douady-Hubbard is slechts de harmonische geconjugeerde van het externe ray-argument: het is het potentieel voor waarvan de externe stralen de veldlijnen zijn.

Ik ben er vrij zeker van dat niet is bewezen dat $ \ psi (\ zeta) $ goed is gedefinieerd voor alle $ \ zeta $ op de eenheidscirkel, maar ik denk dat het zo wordt vermoed. (Soms wordt dit gesteld als te zeggen dat de externe straal "landt".) Echter, de externe stralen op rationele hoeken $ 2 \ pi m/n $ zijn bekend om te landen, en bovendien is de dynamiek op de landingspunten op de grens gerelateerd tot de fractie $ m/n $ op een hele leuke manier. (Er is een analogie tussen de verdubbelingskaart $ \ theta \ mapsto 2 \ theta $ op de cirkel en holomorfische kaarten $ z \ mapsto z ^ 2 + c $, en de dynamiek van $ \ theta $ onder de eerste kaart zijn gerelateerd aan de dynamiek van de $ z \ mapsto z ^ 2 + c_ \ theta $ kaart, waarbij $ c_ \ theta $ het landingspunt is van de corresponderende straal op de grens van de Mandelbrot-reeks.) Deze parametrisering van de grens is dus inderdaad een belangrijk en natuurlijk object (als het goed gedefinieerd is, zoals verondersteld).

6
toegevoegd

$\psi(w)$ is called Jungreis function
Mandelbrot set boundary as the image of unit circle under Jungreis function

Hier zijn enkele afbeeldingen, code en beschrijving die enkele parametriseringen laten zien:

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jungreis.svg - using Jungreis function

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lemniscates5.png

cirkel tot grensparametrisatie

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jung200.png

Newton methode:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandelbrot_set_Component_by_Newton_method.png

cirkel naar component (of een deel ervan):

http://commons.wikimedia.org/w/index. PHP title = Bestand:? Mandelbrot_set_Components.jpg

4
toegevoegd

Mijn vermoeden is dat zo'n parametrering niet zou werken. Probeer iets vergelijkbaars voor een eenvoudiger (in bepaalde gezichtspunten) structuur zoals een Koch sneeuwvlok. Zou je benadering van parametrisering je toestaan ​​om een ​​functie te genereren op basis van $ n $, het aantal recursieve iteraties dat wordt gebruikt om de sneeuwvlok tot een bepaalde diepte te genereren? Ik zou niet denken. Je zou in staat zijn om, ten minste voor de Koch-curve, de "rubberen band" -romp eromheen te parametreren, maar dat zou triviaal zijn voor de meeste recursief gedefinieerde objecten.

1
toegevoegd

Kijk eens naar "Externe hoeken". Blijkbaar zal een lijn die uit het oneindige binnenkomt vanuit elke hoek, altijd loodrecht op de potentiële lijnen blijven staan, uiteindelijk de set raken.

http://mathr.co.uk/blog/2013-02-01_navigating_by_spokes_in_the_mandelbrot_set.html

http://mathr.co.uk/blog/2013-10-02_islands_in_the_hairs.html

Ik probeer nog steeds de precieze wiskunde achter henzelf te achterhalen. Zijn Haskell-bronnen zijn crypto voor mij.

0
toegevoegd