Pode gerir o embalador noutro porto.
$ react-native start --port=8088
Em alternativa, descubra o que está a utilizar que portas no Windows com netstat.
$ netstat -a -b -o
Netstat dá-lhe um PID, que pode utilizar para matar o processo.
$ taskkill /pid 1234
Esta imagem mostra de facto que o seu 8081 não está a ser utilizado. Se as sugestões acima de haven't ajudaram, e o seu dispositivo móvel estiver ligado ao seu computador via usb (e tiver o Android 5.0 (Lollipop) ou superior) poderia tentar:
$ adb reconnect
Isto não é necessário na maioria dos casos, mas apenas por precaução, deixe's reiniciar a sua ligação com o seu telemóvel e reiniciar o servidor adb. Finalmente:
$ adb reverse tcp:8081 tcp:8081
Assim, sempre que o seu dispositivo móvel tentar aceder a qualquer porta 8081 em si mesmo, será encaminhado para a porta 8081 no seu PC.
Ou, pode-se tentar
$ killall node